ਜੁਰਾਬਾਂ, ਇੱਕ ਐਡਿਟਿਵ ਕੰਬੀਨੇਟਰਿਕਸ ਸਮੱਸਿਆ ‘ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਇੱਕ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਖੇਡ || ਗਣਿਤ ∩ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਛੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਾਰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਕਾਰਡਾਂ ‘ਤੇ ਜੁਰਾਬਾਂ ਨੂੰ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? (ਇੱਕੋ ਜੁਰਾਬ ਦੇ ਡੁਪਲੀਕੇਟ ਜੋੜੇ ਠੀਕ ਹਨ)

1   2   3
4   5   6

ਇਹ ਸਾਕਸ ਗੇਮ ਦਾ ਉਦੇਸ਼ ਹੈ, ਇੱਕ ਗੇਮ ਜਿਸਨੂੰ “ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਸੈੱਟ” ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਮੈਂ ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹਾਂ।

ਗੇਮ ਵਿੱਚ 63 ਕਾਰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, 6 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸੰਭਾਵਿਤ ਬਿਨਾਂ ਖਾਲੀ ਸਬਸੈੱਟ ਲਈ ਇੱਕ। ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੀ ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੇ ਡੁਪਲੀਕੇਟ ਜੋੜੇ ਠੀਕ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3 ਪੀਲੀਆਂ ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ 4 ਹੈ)। ਖਿਡਾਰੀ ਸੈੱਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਝ ਕਾਰਡ ਅਤੇ ਦੌੜ ਦਾ ਸੌਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਗੇਮ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੈੱਟ ਜਿੱਤਣ ਵਾਲਾ ਖਿਡਾਰੀ ਜਿੱਤਦਾ ਹੈ। ਕੁਦਰਤੀ ਗਣਿਤ ਦਾ ਸਵਾਲ ਇਹ ਹੈ: ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਦੇਣ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਕਾਰਡਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?

ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਸਲਈ ਲੰਬਾਈ-6 ਬਾਈਨਰੀ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਸਮੂਹ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$ ਦੇ ਤੱਤ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੂਚਕਾਂਕ ਇੱਕ ਜੁਰਾਬ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਕਾਰਡ ‘ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਜੁਰਾਬਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਜ਼ੀਰੋ।

ਮੈਂ “ਐਡੀਟਿਵ ਗਰੁੱਪ” ਬਣਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਏ ਸੈੱਟ ਸਾਕਸ ਵਿੱਚ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕਾਰਡ ਇੱਕ ਲੰਬਾਈ-6 ਬਿਟਸਟ੍ਰਿੰਗ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ “ਜੁੜ” ਇੱਕ ਬਿੱਟਵਾਈਜ਼ XOR ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ, ਦੋ ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ “ਸੰਖੇਪ” ਕਰਨ ਨੂੰ ਕਾਰਡ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਜੁਰਾਬਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਕਾਰਡਾਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਅਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੈੱਟ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਿੰਨ ਕਾਰਡਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਤੱਤ ਦਾ ਆਪਣਾ ਉਲਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਡੈੱਕ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਰਡ ਦੋ ਵਾਰ ਨਹੀਂ ਦਿਸਦਾ।

ਫਿਰ ਕੁਦਰਤੀ ਗਣਿਤ ਦਾ ਸਵਾਲ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਵੈਧ ਸੈੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਦੇਣ ਲਈ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਕਾਰਡਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ? ਗਣਿਤ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $M$ ਕੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਰ ਆਕਾਰ-$M$ ਸਬਸੈੱਟ $S \subset (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$ ਵਿੱਚ ਬਿਨਾਂ ਖਾਲੀ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮਿੰਗ ਸਬਸੈੱਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ?

ਪ੍ਰਮੇਯ: $M = 7$।

ਸਬੂਤ। ਆਕਾਰ 6 ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮਿੰਗ ਸਬਸੈੱਟ ਨਹੀਂ ਹੈ

\( \{ (1, 0, \ ਬਿੰਦੀ, 0), (0, 1, 0, \ ਬਿੰਦੀ, 0), \ ਬਿੰਦੀਆਂ, (0, 0, \ ਬਿੰਦੀਆਂ, 1) \} \)

ਇਸ ਲਈ $M > 6$। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਾਈਜ਼ 7 ਦੇ $S$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੈੱਟ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। $2^{7} – $S$ ਦੇ ਬਿਨਾਂ ਖਾਲੀ ਸਬਸੈੱਟਾਂ ਦੇ 1$ ਵੱਖਰੇ ਜੋੜ ਹਨ, ਪਰ ਸਿਰਫ $2^6$ ਸਮੂਹ ਤੱਤ ਹਨ, ਇਸਲਈ $S$ ਦੇ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਸਬਸੈੱਟ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕੋ ਜੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਹ $X = {x_1, \dots, x_r}$ ਅਤੇ $Y = {y_1, \dots, y_s}$, ਅਤੇ $g = x_1 + \dots + x_r = y_1 + \dots + y_s$ ਹਨ। ਫਿਰ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਹਰ ਤੱਤ $x$ ਇਸ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ $x = -x$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

\( x_1 + \dots + x_r + y_1 + \dots + y_s = g + g = 0 \)

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿਚ, ਅਸੀਂ ਪਸੰਦ ਕਰਨਗੇ “ਸੈੱਟ” $\{ x_1, \dots, x_r, y_1, \dots, y_s \}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਅਤੇ ਜਿੱਤ ਦਾ ਐਲਾਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ $x_i$ $y_j$ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਦੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ। ਭਾਵ, $X$ ਅਤੇ $Y$ ਓਵਰਲੈਪ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ “ਵਰਤ” ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ। ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸੈੱਟ ਵੱਖਰੇ ਹਨ (ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ), ਉਹ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਓਵਰਲੈਪ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਓਵਰਲੈਪ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਕਹੋ $x_1 = y_2$, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $x_1 + y_2 = 2x_1 = 0$ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੋ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਹਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਮ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮਿੰਗ ਸਬਸੈੱਟ ਸਮਮਿਤੀ ਅੰਤਰ $X \triangle Y$ ਹੈ।

$\ਵਰਗ$

ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮੈਂ ਸਾਕਸ ਖੇਡਿਆ ਹੈ, ਮੈਂ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਜੋੜ ਵਾਲੇ ਦੋ ਉਪ-ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮਿੰਗ ਸਬਸੈੱਟ ਲੱਭਣਾ ਕੋਈ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਸ ਸਬੂਤ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਮੈਨੂੰ ਮੇਰੇ ਵਿਰੋਧੀਆਂ ਦੇ ਦਿਲਾਂ ਅਤੇ ਦਿਮਾਗਾਂ ਨੂੰ ਜਿੱਤਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮੈਨੂੰ ਗੇਮ ਜਿੱਤਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।

ਮੂਲ ਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ ਸਬੂਤ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਸਬੂਤ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਰ ਸਮੂਹਾਂ ਲਈ ਆਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ): $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ਫੀਲਡ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ। ਗੇਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰਹਿਤ ਰੇਖਿਕ ਸੁਮੇਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਇੱਕ ਕਾਰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਹੈ)। ਅਜਿਹੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੁਮੇਲ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ ਸਮੂਹ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਆਯਾਮ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉਤਪਾਦਾਂ ਬਾਰੇ ਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਮੂਲ ਤੱਥ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸਾਡੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਅਯਾਮ 6 ਹੈ, ਇਸਲਈ 7 ਕਾਰਡ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।

ਇੱਕ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀ ਲਈ ਅਗਲਾ ਕੁਦਰਤੀ ਟੀਚਾ ਹੋਰ ਆਮ ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਉਹੀ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛਣਾ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਸਬੂਤ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ $M= k+1$ ਹੈ। ਪਰ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^k$ ਲਈ, ਸਮੱਸਿਆ ਖੁੱਲੀ ਹੈ।

ਅਨੁਮਾਨ: ਮੰਨੋ $G = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^k$, ਫਿਰ $1 ਦੇ $S$ ਦੇ ਹਰ ਸੈੱਟ + k(n-1)$ $G$ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਸ ਵਿੱਚ ਬਿਨਾਂ ਖਾਲੀ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮਿੰਗ ਸਬਸੈੱਟ ਹੈ।

ਪਿਛਲੀ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਉਹੀ ਦਲੀਲ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਭਾਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $S$ ਦੇ ਕੁਝ ਵੱਖਰੇ ਸਬਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕੋ ਹੈ, ਫ਼ਰਕ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੂਹ ਤੱਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ $S$ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੰਬਰ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਐਡਿਟਿਵ ਕੰਬੀਨੇਟੋਰਿਕਸ ਸਾਹਿਤ ਦੇ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਉਪ ਸਮੂਹ ਦਾ ਦਰਵਾਜ਼ਾ ਖੋਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਸਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਓਲਸਨ ਦੇ ਲਗਾਤਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਬੇਲਾ ਬਜਨੋਕ ਦੇ ਇਸ ਸਰਵੇਖਣ ਦਾ ਸੈਕਸ਼ਨ F.3.3 ਸਾਹਿਤ ਨੂੰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। Erdős ਨੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 60 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਸਮੱਸਿਆ ‘ਤੇ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਖਾਸ ਢਾਂਚੇ ਵਾਲੇ ਸਮੂਹਾਂ ਲਈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਨਿਕਲੇ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਜੌਨ ਓਲਸਨ ਦੇ ਅਸਲ 1969 ਪੇਪਰ, ਫਿਨਾਇਟ ਅਬੇਲੀਅਨ ਸਮੂਹਾਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਯੋਜਕ ਸਮੱਸਿਆ, I, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਸੀਮਿਤ ਅਬੇਲੀਅਨ $p$-ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੈਂ ਹੇਠਾਂ ਕੁਝ ਨਤੀਜਿਆਂ ਅਤੇ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦਾ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਾਂਗਾ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ Bajnok ਦੇ ਸਰਵੇਖਣ ਤੋਂ ਕਾਪੀ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਾਫ਼ੀ ਹੁਸ਼ਿਆਰ ਹੋ, ਤਾਂ ਹਰ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਾਰਡ ਗੇਮ ਦਾ ਆਧਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਔਖਾ ਹਿੱਸਾ, ਅਜਿਹਾ ਲਗਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਥੀਮ ਲੱਭ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਪਿਆਰਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਜਿਹਾ ਸਮੂਹ ਚੁਣ ਰਿਹਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਮਜ਼ੇਦਾਰ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।

ਪ੍ਰਮੇਯ: ਹਰੇਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $n$ ਲਈ, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ਲਈ ਓਲਸਨ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ $1 + \lfloor \sqrt{2n – 3} \rfloor$ ਹੈ।

ਸਾਰੇ $n \leq 64$ ਲਈ, ਇਹ ਸੀਮਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $n=64$ ਲਈ ਇਹ 12 ਹੈ, ਅਤੇ $n=50$ ਲਈ ਇਹ 10 ਹੈ। $n$ ਦਾ ਕੋਈ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਇਹ ਸੀਮਾ ਤੰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਪ੍ਰਮੇਯ: ਹਰ ਪ੍ਰਾਈਮ $p$ ਲਈ, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ਲਈ ਓਲਸਨ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ $1 + \lfloor \sqrt{2p} – 1 / 2 \rfloor$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $p=53$ ਲਈ, ਓਲਸਨ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ 10 ਹੈ। (ਡੀਲ 10 ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ… ਕੁਝ ਪਿਆਰਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆਯੋਗ ਮੋਡ 53! ਚੰਗੀ ਕਿਸਮਤ)

$n$ ਦੇ ਅਜੀਬ ਸੰਯੁਕਤ ਮੁੱਲ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਖੁੱਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇੱਕ ਨੀਵੀਂ ਸੀਮਾ $1 + \lfloor (\sqrt{8n + 9} – 1 ) /2 \rfloor$ ਲਈ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਚੱਕਰੀ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਾਂ ਦੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੀਮਾਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਹੇਠਾਂ $\tau$ ਓਲਸਨ ਦੇ ਸਥਿਰ ਘਟਾਓ 1 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ)।

ਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ $k = 2, 3, 4, 5$ ਲਈ ਰੱਖਣ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਮੇਯ: ਆਰਡਰ $n$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਿਤ ਅਬੇਲੀਅਨ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਓਲਸਨ ਦਾ ਸਥਿਰਤਾ $3 \sqrt{n} + 1$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।

ਅਨੁਮਾਨ (ਜੰਗਲ): ਕ੍ਰਮ $n$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਿਤ ਅਬੇਲੀਅਨ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਓਲਸਨ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ $1 + \sqrt{2n}$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।

ਪ੍ਰਮੇਯ: ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ $C$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਿਤ ਅਬੇਲੀਅਨ ਸਮੂਹ ਦੇ ਕ੍ਰਮ $n$ ਲਈ, ਓਲਸਨ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ $1 + \sqrt{2n} + C \sqrt(3){n} \log_e n$ ਹੈ।

ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਵਾਤੀ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਧਿਕਤਮ ਓਲਸਨ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀ ਖੇਡ ਨੂੰ ਸਖ਼ਤ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਚੱਕਰ ਵਾਲੇ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰੀ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦ ਹਨ।

ਜੁਰਾਬਾਂ ਦਾ ਮੂਲ (2025-01-11 ਨੂੰ ਅੱਪਡੇਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)

ਮੈਂ ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੀ ਕਾਢ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ. ਇਸ ਕਹਾਣੀ ਦੀ ਕਹਾਣੀ ਕਿ ਮੈਂ ਸਾਕਸ ਦੇ ਆਪਣੇ ਸੰਸਕਰਣ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਛਾਪਣ ਲਈ ਆਇਆ ਹਾਂ ਇੱਕ ਮਜ਼ਾਕੀਆ ਛੋਟਾ ਮਿਸ਼ਰਣ ਹੈ.

ਮੇਰੀ ਇੱਕ ਸਹਿਕਰਮੀ, ਕੈਥੀ ਯੂਨ, ਨੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 2023 ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਮੈਨੂੰ ਸੋਕਸ ਬਾਰੇ ਦੱਸਿਆ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਆਪਣੇ ਇੱਕ ਦੋਸਤ ਤੋਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੁਣਿਆ ਸੀ, ਪਰ ਉਸਨੂੰ ਵਿਕਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਭੌਤਿਕ ਕਾਪੀ ਨਹੀਂ ਮਿਲੀ ਸੀ। ਸਾਕਸ ਬੋਰਡਗੇਮਗੀਕ ‘ਤੇ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਟੁੱਟਿਆ ਹੋਇਆ ਵੈਬਸਾਈਟ ਲਿੰਕ, www.socksgame.com ਸੀ। ਮੈਂ ਮੰਨਿਆ ਕਿ ਇਹ ਪ੍ਰਿੰਟ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਸੀ। ਮੈਂ ਸੋਚਿਆ ਕਿ ਮੇਰਾ ਆਪਣਾ ਸੰਸਕਰਣ ਬਣਾਉਣਾ ਮਜ਼ੇਦਾਰ ਹੋਵੇਗਾ! ਇਸ ਲਈ ਮੈਨੂੰ ਗੇਮ ਕ੍ਰਾਟਰ, ਗੇਮ ਕੰਪੋਨੈਂਟਸ ਦੀ ਆਨ-ਡਿਮਾਂਡ ਪ੍ਰਿੰਟਿੰਗ ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਬਸਾਈਟ ਮਿਲੀ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ।

ਜਦੋਂ ਮੈਂ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ, ਮੈਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ URL ਸੀ www.thegamecrafter.com/games/socks2 ਅਤੇ ਮੈਂ ਸੋਚਿਆ, “ਇਹ ਅਜੀਬ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਨੇ ਜੁਰਾਬਾਂ ਨਾਮਕ ਗੇਮ ਬਣਾਈ ਹੈ!” ਅਤੇ ਵੋਇਲਾ, https://www.thegamecrafter.com/games/socks ਗੇਮ ਦੇ ਸੰਸਕਰਣ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੇਰੇ ਦੋਸਤ ਨੇ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਅਜੇ ਵੀ ਵਿਕਰੀ ਲਈ ਹੈ। ਥੋੜ੍ਹੇ ਜਿਹੇ ਇੰਟਰਨੈਟ ਸਲੂਥਿੰਗ ਦੇ ਨਾਲ, ਮੈਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਸੋਕਸ ਨੂੰ 2012 ਵਿੱਚ ਅਮਰੀਕਾ ਦੀ ਸੋਕਾ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ, ਅੰਨਾ ਵਰਵਾਕ ਦੁਆਰਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।

ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਮੈਂ ਅੰਨਾ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ ਗਿਆ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਕਿਰਪਾ ਨਾਲ ਮੈਨੂੰ “ਸੋਕਸ” ਨਾਮ ਦੇ ਨਾਲ ਮੇਰਾ ਸੰਸਕਰਣ ਵੇਚਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੱਤੀ। ਵਰਵਾਕ ਦੀ ਖੇਡ ਵਿੱਚ ਅਧਿਕਾਰਤ ਨਿਯਮ ਥੋੜੇ ਵੱਖਰੇ ਹਨ: ਤੁਸੀਂ 12 ਕਾਰਡ ਡੀਲ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ 3 ਕਾਰਡ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਮੇਰੇ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ 7 ਕਾਰਡਾਂ ਦਾ ਸੌਦਾ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਕਾਰਡਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਉਪ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਉਪ-ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਆਕਾਰ 3 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਥੋੜੀ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਬਾਜਨੋਕ ਦੇ ਸਰਵੇਖਣ ਦਾ ਸੈਕਸ਼ਨ F.3.1 ਦੇਖੋ), ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਨਤੀਜਾ ਜੋ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ

ਪ੍ਰਮੇਯ: ਸਾਰੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $k$ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸੈੱਟ $S \subset (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ ਦਾ ਆਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ $2^{k-1} + 2$ ਦੇ ਨਾਲ ਆਕਾਰ 3 ਦਾ ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ-ਸਮਿੰਗ ਸਬਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਥੇ ਆਕਾਰ $2^{k-1} + 1$ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ-3 ਦਾ ਕੋਈ ਸੈੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਅੰਨਾ ਦੇ ਸੰਸਕਰਣ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, 12 ਕਾਰਡ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹਨ. ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਦੇਣ ਲਈ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੁੱਲ 34 ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।

18 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਮੈਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ 2025 ਜੁਆਇੰਟ ਮੈਥੇਮੈਟਿਕਸ ਮੀਟਿੰਗ ਦੇ ਏਆਈਐਮ ਗੇਮਜ਼ ਨਾਈਟ ਰਿਸੈਪਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਾਇਆ, ਮੈਨੂੰ ਸਾਕਸ ਲਈ ਆਈਸੋਮੋਰਫਿਕ ਗੇਮ ਖੇਡਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਮਿਲੀ, ਪਰ ਹਰੇਕ ਕਾਰਡ ‘ਤੇ 1-6 ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇਹ 1-6 ਰੰਗਦਾਰ ਬਿੰਦੀਆਂ ਸਨ। ਗੇਮ ਨੂੰ “ਪ੍ਰੋਸੈੱਟ”, ਜਾਂ “ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਸੈੱਟ” ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਮੈਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗਾ ਕਿ ਗੇਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ ਪੰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਔਨਲਾਈਨ ਲਾਗੂਕਰਨ ਹਨ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਇਕੱਲੇ ਖੇਡ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋਨਾਸ ਨਿਊਬਰਟ ਦੁਆਰਾ ਇਹ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਹ ਲਿਖਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ 2010 ਦੇ ਆਸਪਾਸ ਦੇਖਿਆ ਸੀ।

ਬਲੂਸਕਾਈ ‘ਤੇ, ਐਰੋਨ ਐਂਡਰਸਨ ਨੇ ਮੈਨੂੰ ਉਸ ਵਿਅਕਤੀ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕੀਤਾ ਜਿਸ ਨੇ ਏਆਈਐਮ ਗੇਮਜ਼ ਨਾਈਟ, ਮੈਥੀਯੂ ਗਵੇ-ਪੈਕੇਟ ਲਈ ਪ੍ਰੋਸੈੱਟ ਡੈੱਕ ਛਾਪੇ ਸਨ। ਈਮੇਲ ਰਾਹੀਂ, ਮੈਥੀਯੂ ਨੇ ਮੈਨੂੰ ਸਮਝਾਇਆ ਕਿ ਉਸਨੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 2003 ਵਿੱਚ ਮੈਥਕੈਂਪ ਦੌਰਾਨ ਖੇਡ ਬਾਰੇ ਸੁਣਿਆ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਅਤੇ ਹੋਰ ਕੈਂਪਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਬੈਂਜਾਮਿਨ ਲੈਂਟ ਡੇਵਿਸ ਅਤੇ ਡਾਇਨੇ ਮੈਕਲਾਗਨ ਦੇ ਪੇਪਰ ਦਿ ਕਾਰਡ ਗੇਮ ਸੈੱਟ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਗਣਿਤ ਦਾ ਸੂਝਵਾਨ (25, ਨੰ. 3, 2003, 33-40)। ਇਹ ਪੇਪਰ (ਕੁਝ ਬੇਢੰਗੇ ਢੰਗ ਨਾਲ) ਪੰਨਾ 17 ‘ਤੇ “ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਿਵ ਸੈੱਟ” ਗੇਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਪਾਂ ਲਈ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਤੇ ਫੌਂਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਮੈਥੀਯੂ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਇਸਦੀ ਬਜਾਏ ਰੰਗਦਾਰ ਬਿੰਦੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਸੀ, ਅਤੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਾਰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਡੈੱਕ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। 2007 ਵਿੱਚ, ਉਸਨੇ ਗੇਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਸੰਸਕਰਣ ਛਾਪਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਦੋਸਤਾਂ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਕੈਂਪਰਾਂ ਲਈ ਕੁਝ ਛੋਟੀਆਂ ਦੌੜਾਂ ਕੀਤੀਆਂ। 2012 ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਹਿਯੋਗੀ ਅਲੇਜੈਂਡਰੋ ਐਰਿਕਸਨ ਨੇ ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਕੀਤਾ, ਹੁਣ ਰੰਗਦਾਰ ਆਕਾਰਾਂ (ਤਾਰੇ, ਵਰਗ, ਆਦਿ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਗੇਮ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਸਮਜ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ The Game Crafter ‘ਤੇ ਵਿਕਰੀ ਲਈ ਵੀ ਉਪਲਬਧ ਹੈ। ਇਕ ਹੋਰ ਦੋਸਤ, ਜੋਨਾਥਨ ਲੈਂਚਨਰ, ਮਾਰਕੀਟਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜ ਗਿਆ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸਲੀ ਰੰਗਦਾਰ ਬਿੰਦੀ ਸੰਸਕਰਣ ਹੁਣ ਪ੍ਰੋਸੈਟ ਨਾਮ ਦੇ ਤਹਿਤ ਦ ਗੇਮ ਕ੍ਰਾਫਟਰ ‘ਤੇ ਵੀ ਉਪਲਬਧ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਮੇਰੇ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਸੰਸਕਰਣ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਕੌਣ ਹੈ। ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੌਨ ਲੈਂਚਨਰ (ਦੋ ਸਹਿਯੋਗੀਆਂ ਦੇ ਨਾਲ) ਇੱਕ ਮਾਡ-3 ਸੰਸਕਰਣ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਹ ਆਪਣੀ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਵੈਬਸਾਈਟ ‘ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਸਮਜ਼ ਦੇ ਨਾਲ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਕੁਝ ਖੇਡਣ ਵਾਲੇ ਨੋਟ

ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਗੇਮ ਖੇਡਣ ਵੇਲੇ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਸ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਨੋਟ:

• ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੀ ਕੀਮਤ 1 ਪੁਆਇੰਟ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਕਾਰਡ ਹੋਣ। ਮੈਨੂੰ ਕੋਈ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਛੋਟੇ ਜਾਂ ਵੱਡੇ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬਿਹਤਰ ਰਣਨੀਤੀ ਹੈ.
• ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਾ ਆਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਿੰਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਤਿੰਨ ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ XOR- ਕਾਰਡਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।
• ਹਰੇਕ ਜੁਰਾਬ ਦੀ ਕਿਸਮ ਕਾਰਡਾਂ ‘ਤੇ ਇੱਕੋ ਥਾਂ ‘ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
• ਅਕਸਰ ਤੁਸੀਂ ਕਾਰਡਾਂ ਦੇ ਛੋਟੇ ਸਮੂਹਾਂ (ਜਿਵੇਂ, 1-2) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ ਵਰਤੋਂਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਕੁਝ ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਜਬੂਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਖੋਜ ਸਪੇਸ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਕਰਦਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
• ਸਾਰੇ ਕਾਰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਇਹ ਅਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਜੁਰਾਬਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਉਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਵਾਲੀਆਂ ਜੁਰਾਬਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਫਿਰ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਸੈੱਟ ਦਾ ਦਾਅਵਾ ਕਰੋ।
• ਜਦੋਂ ਕਾਰਡ “ਸਪਾਰਸ” (ਪ੍ਰਤੀ ਕਾਰਡ 1-3 ਜੁਰਾਬਾਂ) ਬਨਾਮ “ਸੰਘਣੀ” (ਪ੍ਰਤੀ ਕਾਰਡ 4-6 ਜੁਰਾਬਾਂ) ਹੋਣ ਤਾਂ ਸੈੱਟਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸੌਖਾ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ।
• ਜਦੋਂ ਆਖਰੀ ਕਾਰਡ ਡੀਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਤੁਰੰਤ “ਸਾਕਸ” ਦਾ ਦਾਅਵਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਗੇਮ ਵਿੱਚ ਹਰ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਸੈੱਟ ਵੈਧ ਸੀ। ਇਹ ਆਖਰੀ ਗੇੜ ਨੂੰ ਬੋਰਿੰਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਡੀਲ ਕੀਤੇ ਛੱਡਣਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਕੀ ਕਾਰਡਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕੇ ਉਸ ਕਾਰਡ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ “ਅੰਦਾਜ਼ਾ” ਲਗਾਓ। ਇਹ SET ਲਈ ਪਾਰਲਰ ਚਾਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਜੋ ਮੈਂ ਕੁਝ ਸਮਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਲਿਖਿਆ ਸੀ। ਸਾਕਸ ਲਈ ਇਹ ਚਾਲ ਕਰਨਾ ਲਗਭਗ ਓਨਾ ਔਖਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਇਹ SET ਲਈ ਹੈ, ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਖਿਡਾਰੀਆਂ ਲਈ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਗਣਿਤ ਬਾਰੇ ਨਹੀਂ ਸੋਚਿਆ ਹੈ।