Salonowa sztuczka dla SET || Matematyka ∩ Programowanie

Tai-Danae Bradley jest jednym z gospodarzy PBS Infinite Series, zachwycającej serii winiet przedstawiających zabawne części matematyki. Poniższy film jest mniej więcej taki sam jak SET, ulubiony wśród matematyków. W szczególności Tai-Danae wyjaśnia, w jaki sposób karty SET leżą w (używając bardziej technicznego żargonu) przestrzeni wektorowej nad ciałem skończonym i że prawidłowe zbiory odpowiadają liniom. Jeśli nie od razu wiesz, jak to będzie działać, obejrzyj wideo.

W tym poście chcę podzielić się sztuczką salonową dla SET, którą pierwotnie usłyszałem od Charlotte Chan. Wykorzystuje te same pomysły z powyższego filmu, które omówię tylko pokrótce.

W grze SET widzisz planszę kart podobną do poniższej, a gracze szukają zestawów.

Prawidłowy zestaw to potrójna karta, w przypadku której cechy na kartach są albo takie same, albo różne. Prawidłowy zestaw powyżej to {jeden pusty niebieski owal, dwa pełne niebieskie owale, trzy zacienione niebieskie owale}. Cecha „wypełnienia” jest inna na wszystkich kartach, ale cecha „koloru” jest taka sama itd.

W grze SET karty są rozdawane w kolejności z potasowanej talii, gracze ścigają się, aby zdobyć zestawy, usuwając zestaw, jeśli jest ważny, a następnie rozdawane są trzy karty w celu zastąpienia usuniętego zestawu. W końcu talia się wyczerpie i gra dobiegnie końca, a zwycięzcą zostaje gracz, który zebrał najwięcej zestawów.

Istnieje kilka matematycznych sztuczek, które pomogą Ci szybciej wyszukiwać zestawy, ale sztuczka salonowa opisana w tym poście dodaje zabawny wariant na koniec gry.

Graj w grę SET normalnie, ale kiedy dojdziesz do ostatniej karty w talii, nie odkrywaj jej. Kontynuuj wyszukiwanie zestawów, aż wszyscy zgodzą się, że nie pozostały żadne widoczne zestawy. Następnie rozpoczynasz wariant: pierwszy gracz, który odgadnie ostatnią nierozdaną kartę w talii, otrzymuje zestaw bonusowy.

Matematyka pojawia się, gdy odkryjesz, że nie musisz zgadywać ani pamiętać niczego na temat gry, w którą właśnie grałeś! Sprytny nieznajomy mógłby wejść do pokoju na koniec gry i zdobyć dodatkowy punkt.

Twierdzenie: Tak długo, jak każdy gracz zdobył ważny zestaw w trakcie gry, informacja na pozostałej planszy jednoznacznie określa ostatnią (nierozdaną) kartę.

Zanim przejdziemy do dowodu, kilka przypomnień. Przypomnijmy, że na karcie SET znajdują się cztery funkcje, z których każda ma trzy opcje. Wylicz opcje dla każdej funkcji (np. {Zawijas, Owal, Romb} = {0, 1, 2}).

Chociaż nie będziemy potrzebować wynikającej z tego geometrii, oznacza to, że każda karta jest wektorem w przestrzeni wektorowej $ \mathbb{F}_3^4$, gdzie $ \mathbb{F}_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ jest skończonym ciałem trzech elementów, a wykładnik oznacza „wymiar 4”. Jak Tai-Danae wskazuje na filmie, każdy SET jest linią afiniczną w tej przestrzeni wektorowej. Na przykład, jeśli jest to wyliczenie:

Następnie, korzystając z wyliczenia, można podać zbiór według

$$\displaystyle \{ (1, 1, 1, 1), (1, 2, 0, 1), (1, 0, 2, 1) \}$$

Dla nas kluczową cechą jest to, że suma wektorów (przy użyciu arytmetyki pola modułowego dla każdego wpisu) kart w prawidłowym zestawie jest wektorem zerowym $ (0, 0, 0, 0) $. Dzieje się tak, ponieważ $ 1+1+1 = 0, 2+2+2 = 0, $ i $ 1+2+3=0$ są prawdziwymi modami 3.

Dowód twierdzenia. Rozważmy wektorowy niezmiennik $ S_t$ równy sumie pozostałych kart po wzięciu zestawów $ t$. Na początku gry talia składa się z 81 kart, które można podzielić na odpowiednie zestawy. Ponieważ każdy prawidłowy zbiór sumuje się do wektora zerowego, $ S_0 = (0, 0, 0, 0) $. Usunięcie prawidłowego zbioru w drodze normalnej gry nie ma wpływu na niezmiennik, ponieważ odejmujesz zbiór wektorów, których suma wynosi zero. Zatem $ S_t = 0 $ dla wszystkich $ t $.

Na koniec gry niezmiennik nadal obowiązuje, nawet jeśli nie ma już żadnych ważnych zestawów do przejęcia. Niech $ x$ będzie wektorem odpowiadającym ostatniej nierozdanej karcie, a $ c_1, \dots, c_n$ będą pozostałymi widocznymi kartami. Wtedy $ x + \sum_{i=1}^n c_i = (0,0,0,0)$, czyli $ x = -\sum_{i=1}^n c_i$.

$$\kwadrat$$

Podałbym przykład, ale chcę zachęcić wszystkich do zagrania w grę SET i wypróbowania jej na żywo!

Charlotte, która pierwotnie pokazała mi tę sztuczkę, dość szybko obliczyła tę sumę w głowie. Podobnie było z innymi studentami matematyki, z którymi graliśmy w SET. Jest to trochę łatwiejsze niż się wydaje, ponieważ możesz sumować funkcję po funkcji. Mimo że znam ten trik od lat, nadal potrzebuję kartki papieru i kilku minut.

Ponieważ to jest matematyka Przecinać Programując, zachęca się czytelnika do wdrożenia tego schematu w formie ćwiczenia i symulacji gry w SET poprzez usunięcie losowo wybranych prawidłowych zestawów w celu eksperymentalnego sprawdzenia, czy ten schemat działa.

Do następnego razu!

---

---