Spazio di Hilbert: trattare le funzioni come vettori

Intuizione: funziona come vettori a dimensione infinita

Esistono diversi modi per visualizzare i vettori; un’interpretazione standard è un elenco ordinato di numeri. Prendiamo come esempio un vettore:

Questa è una lista di tre numeri, dove ogni numero ha un indice. è 1.4, è 4.2 e così via. Un altro modo di pensare a un vettore è a funzionein senso matematico stretto. Un vettore in è una funzione con dominio (gli indici) e codominio O:

Ora immagina che il nostro vettore sia N-dimensionale: . Usando la notazione della funzione possiamo scrivere . Questo funziona per qualsiasi N, e in effetti funziona anche per an infinito N. Il nostro vettore diventa quindi semplicemente una funzione dai numeri naturali ai reali: .

Ma possiamo spingerci ancora oltre; cosa succede se consentiamo qualsiasi numero reale come indice? Il nostro vettore è quindi , o potremmo semplicemente cambiare il suo nome per essere più familiare: . Questo “vettore” è solo una funzione dai reali ai reali.

Sebbene non possiamo scrivere esplicitamente tutti gli elementi (ce ne sono un numero infinito e la maggior parte degli indici sono irrazionali e non hanno nemmeno una rappresentazione finita), possiamo invece elaborare una regola che associa un indice all’elemento. Ad esempio: è una regola del genere. Per ogni dato indice Xassegna il valore . Non siamo abituati a pensare alle funzioni come a vettori, ma se estendiamo attentamente alcune definizioni, è del tutto possibile!

Quindi, le funzioni possono essere viste come vettori con dimensioni infinite. Il prossimo passo è vedere come possiamo definire a spazio vettoriale per funzioni.

Le funzioni formano uno spazio vettoriale

Le funzioni, insieme alle operazioni standard di addizione e moltiplicazione scalare, formano uno spazio vettoriale.

Per piena generalità, lasciamo essere qualsiasi insieme e (numeri reali o complessi). Permettere essere l’insieme di tutte le funzioni mappate. Per e un numero , definiamo l’addizione di funzioni e la moltiplicazione scalare come segue:

Poi insieme a queste operazioni forma uno spazio vettoriale su . Per una dimostrazione, vedere l’Appendice A.

Funzioni integrabili quadrate

Uno spazio vettoriale è utile, ma per arrivare allo spazio di Hilbert ed essere in grado di eseguire operazioni più interessanti sulle funzioni, abbiamo bisogno di una struttura aggiuntiva.

Da qui in poi passeremo alle funzioni con valori complessi (le funzioni con valori reali sono solo un caso speciale). Si dice che una funzione sia quadrato integrabile Se:

L’insieme di tali funzioni è comunemente indicato con , e forma a sottospazio dello spazio vettoriale di cui abbiamo discusso nella sezione precedente (per una dimostrazione, vedere l’Appendice B).

L’integrale sul quadrato della funzione è equivalente alla norma euclidea per i vettori; intuitivamente, agisce come una misura di
lunghezzache è il termine usato nei vettori. Per le funzioni, viene generalmente indicato come energia .

Prodotto interno e norma

Per aggiungere più strumenti dalla casella degli strumenti dell’algebra lineare, definiamo un prodotto interno su:

Perché è definito in questo modo? Ecco la definizione di prodotto interno tra due vettori N-dimensionali con valori complessi:

Sembra familiare? La versione della funzione è semplicemente la generalizzazione di questa somma su un intervallo infinito (l’intero asse x, se vuoi), utilizzando un integrale.

Come passo successivo, vogliamo dimostrare che è un file an spazio interno del prodottose preso con l’operazione del prodotto interno come sopra definito. Affinché ciò sia vero, dobbiamo innanzitutto dimostrare che il prodotto scalare è finito per ogni coppia di funzioni (se l’integrale non converge, non è qualcosa con cui possiamo lavorare). Questo può essere fatto utilizzando la forma integrale della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

Poiché , il secondo membro è finito, e quindi anche il prodotto scalare è finito. È qui che entra in gioco l’integrabilità quadrata delle funzioni: senza essere integrabile al quadrato, il prodotto interno sarebbe impossibile da definire.

Anche le altre proprietà dei prodotti interni possono essere dimostrate facilmente e ci sono molte risorse online che mostrano come.

Pertanto, accoppiato con l’operazione del prodotto interno qui mostrata forma uno spazio del prodotto interno.

Questo prodotto interno può essere utilizzato per definire a norma per il nostro spazio:

Ancora una volta, poiché le nostre funzioni sono quadrate integrabili, la norma esiste ed è facile dimostrare che soddisfa tutti i normali requisiti di una norma.

Siamo già Hilbert?

Abbiamo visto che l’insieme delle funzioni quadrate integrabili forma uno spazio vettoriale proprio e anche uno spazio del prodotto scalare quando accoppiato con un’operazione di prodotto scalare; ha anche una norma. Quindi ha tutto ciò che serve per l’algebra lineare?

Quasi. Anche questo spazio dovrebbe esserlo completare. Il termine “completo” è gravemente sovraccarico in matematica, quindi è importante dire cosa significa in questo contesto: in parole povere, significa che l’insieme non ha “buchi” – nessuna sequenza di elementi nell’insieme converge verso un elemento esterno all’insieme. Per dirla in modo meno semplice, uno spazio è completo se tutte le sequenze di Cauchy di elementi di questo spazio convergono.

Questo ci porta in profondità nell’ampio e avanzato argomento dell’analisi reale. Il teorema di Riesz-Fischer dimostra che è completo.

Una volta aggiunta la completezza all’insieme delle proprietà di , diventa a Spazio di Hilbert.

Potresti anche sentire il termine spazio di Banach menzionato in questo contesto. Gli spazi di Banach sono più generali degli spazi di Hilbert: uno spazio completo con una norma è uno spazio di Banach (questa norma non deve provenire da un prodotto interno). Uno spazio del prodotto interno completo è uno spazio di Hilbert: la norma di uno spazio di Hilbert è definita utilizzando il suo prodotto interno, come abbiamo visto sopra.

Applicazione: serie di Fourier generalizzata

La serie di Fourier è una delle idee più brillanti e consequenziali della matematica. Mi piacerebbe davvero approfondire questo argomento, ma ciò richiederebbe un post (o un libro) a parte.

In breve, le serie di Fourier possono essere definite per funzioni in perché queste formano uno spazio di Hilbert. Nello specifico, il prodotto interno per le funzioni ci consente di definire ortogonalità e il concetto di vettori di base In . Questi vengono poi utilizzati per esprimere qualsiasi funzione come somma ponderata di una serie di funzioni di base che abbracciano lo spazio. Inoltre, la completezza dello spazio garantisce che le serie di Fourier convergano effettivamente alle funzioni all’interno dello spazio.

È interessante notare che Fourier presentò le sue idee decenni prima che il campo dell’analisi maturasse e che lo spazio di Hilbert fosse definito. Questo è il motivo per cui molti matematici dell’epoca (in particolare Lagrange) si opposero alla teoria di Fourier perché non sufficientemente rigorosa. La teoria, tuttavia, funzionò brillantemente per molti scenari utili e gli sviluppi successivi nell’analisi funzionale contribuirono a porla su una base teorica più solida.

Un altro esempio correlato che trovo molto interessante: ho menzionato come questa teoria ci aiuta ad applicare gli strumenti dell’algebra lineare alle funzioni, e la serie generalizzata di Fourier fornisce un eccellente esempio.

La maggior parte delle persone ha familiarità con la serie trigonometrica di Fourier, ma la teoria è più generale e si applica a qualsiasi insieme di funzioni mutuamente ortogonali che costituiscono una base per lo spazio vettoriale. Esiste una serie polinomiale di Fourier? Sì, e può essere derivato utilizzando uno degli strumenti classici dell’algebra lineare: il processo di Gram-Schmidt. Il risultato sono i polinomi di Legendre.

Ancora una volta, tutto questo è affascinante e spero di poter scrivere di più su questo argomento in futuro.

Applicazione: meccanica quantistica

In MQ, gli stati delle particelle sono descritti da funzioni d’onda in uno spazio di Hilbert. Il prodotto interno può essere interpretato come una probabilità. Gli operatori QM possono essere visti come mappe lineari su quello spazio. Ciò ci consente di applicare l’algebra lineare in dimensioni infinite e sblocca uno scrigno di utili strumenti matematici.

Appendice A: dimostrazione degli assiomi dello spazio vettoriale per le funzioni

Come promemoria, abbiamo a che fare con l’insieme di funzioni , dove è un insieme qualsiasi e può essere l’uno o l’altro O . Questo insieme insieme all’addizione tra i membri dell’insieme e alla moltiplicazione scalare formano uno spazio vettoriale. Per dimostrarlo, dimostriamo tutti gli assiomi dello spazio vettoriale:

Associatività dell’addizione vettoriale:

Ciò procede molto agevolmente perché l’addizione sia sui numeri reali che su quelli complessi è associativa, commutativa, ecc.

Commutatività dell’addizione vettoriale:

Elemento identificativo dell’addizione vettoriale:

La funzione funge da elemento identitario additivo:

Elementi inversi dell’addizione vettoriale:

Definiremo l’inverso additivo e come prima:

Associatività della moltiplicazione scalare:

Per uno scalare:

Elemento identitario della moltiplicazione scalare:

Utilizzeremo lo scalare 1 come elemento identificativo della moltiplicazione scalare. Dal momento che il risultato di è uno scalare reale o complesso, è banalmente vero che:

Distributività della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione vettoriale:

Distributività della moltiplicazione scalare rispetto all’addizione scalare:

Per scalari e:

Appendice B: dimostrazione che le funzioni integrabili quadrate formano un sottospazio

Per dimostrare che è un sottospazio dello spazio vettoriale delle funzioni, dobbiamo dimostrare le seguenti proprietà:

Elemento zero

L’elemento zero è in:

Chiusura per addizione

Ricordiamo che le nostre funzioni hanno valori complessi. Per due numeri complessi qualsiasi (vedi questo post):

È molto facile dimostrarlo, e anche quello. Perciò:

Armati di questo, controlliamo se la somma di ed è integrabile al quadrato:

Poiché i valori e sono solo numeri complessi, utilizzeremo la disuguaglianza mostrata sopra per scrivere:

Entrambi gli integrali a destra sono finiti, quindi anche quello a sinistra è finito.

Chiusura per moltiplicazione scalare

Dato e uno scalare:

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