Notas sobre la serie de Fourier – Sitio web de Eli Bendersky

Coeficientes de la serie de Fourier

Supongamos que es un de buen comportamiento -función periódica y que podemos encontrar coeficientes y tales que:

Entonces decimos que el serie de fourier en el lado derecho converge a . Hablaremos más sobre los supuestos mencionados anteriormente y la convergencia en la siguiente sección.

Tenga en cuenta que cuando , la suma se vuelve justa ; por lo tanto, es habitual escribir la serie que comienza con , con un componente constante separado (que es el promedio de la función durante un período). Para simplificar los cálculos, esta constante normalmente se llama , por lo que:

Nuestro objetivo es encontrar los coeficientes y que satisfagan esta ecuación. Haremos esto en tres pasos.

Paso 1: Integra ambos lados de la ecuación entre y .

Según el Apéndice A, todas las integrales dentro de la suma son cero, por lo que nos queda:

Y así encontramos :

Paso 2: Multiplica ambos lados por ( es una constante entera positiva) e integra entre y .

Mirando el lado derecho, la primera integral es cero según el Apéndice A, y la última integral es cero según el Apéndice B. Nos queda:

Según el Apéndice B, la integral de la derecha es cero para todos y para . Por tanto, podemos escribir:

Recuerde que es un número entero arbitrario, al igual que ; para mantener la coherencia, lo reemplazaremos por y aislar:

Paso 3: Esperemos que quede claro hacia dónde va esto ahora; multiplica ambos lados por e integra entre y . Usando un razonamiento muy similar al del paso 2, terminaremos con:

Acabamos de encontrar una manera de calcular todos los coeficientes de nuestra serie de Fourier para :

Dónde:

Condiciones en F y convergencia de series de Fourier

La sección anterior analiza las series de Fourier para una función.
eso es de buen comportamiento – pero ¿qué significa eso? La respuesta completa nos llevaría a un análisis profundo, que me gustaría evitar aquí. Así que seré breve.

Normalmente asumimos que es integrable al cuadrado, lo que se denota como . Además, suponemos que la función es suave por partes: cada segmento de la función tiene derivadas continuas. Un ejemplo muy simple de una función suave por partes es. Otra es la función de onda triangular utilizada en el siguiente ejemplo.

Estas condiciones son válidas para prácticamente cualquier función razonable que queramos aproximar usando series de Fourier, por lo que no son una carga importante.

para una función que satisface estas condiciones, se garantiza que tendrá una serie de Fourier que converge puntualmente lo. Esto significa que en cada punto continuo de la serie de Fourier converge exactamente; en cada punto de salto, la serie de Fourier converge al punto medio del salto.

Serie coseno y seno

A veces, propiedades adicionales de la función. puede ayudarnos a simplificar la serie de Fourier. Si es una función par entonces sabemos que:

Porque la función dentro de la integral es impar y la integración de una función impar en un intervalo simétrico da como resultado 0.

Por lo tanto, la serie de Fourier para tal es una serie coseno:

Con coeficientes y dado como antes.

De manera similar si es un extraño función, entonces su
y son 0, y su serie de Fourier es una serie sinusoidal:

Serie de Fourier para una función no periódica definida en un intervalo

Hasta ahora hemos estado hablando de funciones periódicas que pueden representarse fielmente mediante series de Fourier. Pero ¿qué pasa si tenemos una función no periódica definida en un intervalo finito?

Por ejemplo, supongamos que tenemos en el intervalo. ¿Podemos aproximarlo con una serie de Fourier?

¡Sí! Primero, tenemos que elegir cómo extender la función al intervalo negativo. Luego, simplemente repetimos la función cada – esto se llama prórroga periódica. Tenga en cuenta que el cálculo de la serie de Fourier solo se preocupa por el rango. La serie resultante se aproximará a la función periódica generada en su totalidad y, en particular, también convergerá a ella en el intervalo (excepto quizás los puntos finales, dependiendo del modo de extensión).

Hay varias formas naturales de extender una función definida en el intervalo:

• Repetición periódica directa: simplemente repetimos cada : .
• Extensión par:
• Extensión extraña: cuando y cuando

Aquí hay un ejemplo de cómo extender nuestra función de muestra al intervalo completo y luego repetirla periódicamente cada:

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Tenga en cuenta que la serie de Fourier para estas funciones ampliadas será diferente. Sin embargo, todos convergerán a en el intervalo. Normalmente, las extensiones pares e impares tienen la ventaja de producir series cosenos o senos, respectivamente (como se analizó en la sección anterior).

Hemos visto que las series de Fourier funcionan bien para funciones periódicas y también para funciones no periódicas definidas en un dominio finito (porque podemos extenderlas periódicamente). Pero ¿qué pasa con las funciones aperiódicas definidas en toda la línea real? Aquí es donde tendremos que dejar atrás las series de Fourier y pasar a su generalización: la transformada de Fourier; Este será un tema para una publicación separada.

Ejemplo

Tomemos la siguiente función triangular:

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es periódico con período 4. Podemos definirlo comenzando con una fórmula en el intervalo:

Fórmula compacta que utiliza una sinusoide monofase desplazada

Hemos escrito la serie de Fourier para como sigue hasta el momento:

Podemos reescribir esto en una forma algo más compacta, usando una sola sinusoide con una fase configurable en cada :

Basado en el Apéndice D, y se puede calcular de la siguiente manera:

Cuando las series de Fourier se utilizan en el contexto del procesamiento de señales, es más fácil razonar sobre esta formulación porque representa la magnitud y el cambio de fase de cada armónico de en el dominio de la frecuencia

Serie compleja de Fourier

No debería sorprender que la serie de Fourier, al ser una combinación de funciones trigonométricas, también pueda representarse con funciones exponenciales complejas.

Específicamente, mostraremos que nuestro se puede aproximar de la siguiente manera:

Calculemos. Procedemos de manera similar a antes, multiplicando ambos lados de la ecuación por y tomando una integral en el rango:

Según el Apéndice A, los elementos de la suma son todos cero cuando . Cuando obtenemos:

Por lo tanto, cambiar el nombre a (ya que es sólo una constante entera arbitraria):

Hemos encontrado una formulación alternativa a las series de Fourier, utilizando exponenciales complejas en lugar de funciones trigonométricas. Si bien esta fue una derivación directa, otra forma de lograr el mismo resultado es usar la fórmula de Euler para derivar:

Y sustitúyalos en la fórmula original de la serie de Fourier. Dejaré esto como ejercicio para el lector diligente; eventualmente, el resultado será el mismo. Además, es posible mostrar una correspondencia directa entre , y , para:

Tenga en cuenta que cuando ambos y son reales (que es el caso de un valor real ). Esto ayuda a explicar por qué la formulación compleja tiene frecuencias negativas en la suma; cuando la función es realmente real, cada frecuencia negativa se empareja con una frecuencia positiva y el resultado es real:

Entonces, para una función real sólo necesitamos tener en cuenta las frecuencias positivas:

Podemos llevarlo más lejos. es un número complejo, así que representémoslo en forma polar como (el factor de la mitad pronto tendrá sentido). Entonces:

Y sustituyendo nuevamente en la suma:

¡Esta es precisamente la formulación compacta del apartado anterior!

Base ortogonal de Fourier en el espacio de Hilbert

El aspecto más hermoso de la teoría de Fourier es que no funciona por casualidad y está profundamente conectada con el álgebra lineal. Lea mi publicación sobre el espacio Hilbert antes de continuar.

El espacio de funciones cuadradas integrables de valor real forma un espacio de Hilbert, en el que podemos definir el producto interno (asumiendo funciones reales):

Hemos demostrado que la familia de funciones:

¡Son todos mutuamente ortogonales, porque sus productos internos por pares son cero! También hemos demostrado que cualquier función se puede representar como una suma ponderada de estas funciones:

Entonces estas funciones forman una base para . Cuando pensamos en estas funciones como vectores (en un espacio de Hilbert infinito), mucho de lo que hicimos en esta publicación comienza a parecer álgebra lineal “normal”. Por ejemplo, cuando tenemos un conjunto de vectores base y queremos saber cómo representar algún vector en esta base, normalmente encontramos los coeficientes proyectándolos sobre la base. Por ejemplo, con un vector base, el coeficiente de
:

De manera similar, cuando calculamos el coeficiente para alguna función proyectamos sobre el vector base calculando:

Del Apéndice B sabemos que el denominador es y acabamos de denotar:

Entonces obtenemos:

¡Lo cual debería resultar familiar!

Esta es la idea central del álgebra lineal detrás de las series de Fourier: las funciones , y desempeñan el papel de vectores de base ortogonales, mientras que los coeficientes de Fourier son coordenadas de en esta base. Las fórmulas integrales de y no son trucos misteriosos; son proyecciones, como productos escalares con vectores base en el espacio euclidiano ordinario.

Por lo tanto, las series de Fourier nos permiten descomponer una función en direcciones ortogonales independientes, de manera muy parecida a descomponer un vector en sus
, y componentes.

Apéndice A: Integrales de sinusoides

Para cualquier número entero y una constante arbitraria L, tenemos:

Similarmente:

Usando estos, podemos calcular la integral de una función exponencial compleja para un número entero:

Apéndice B: Integrales de productos de sinusoides

Comenzaremos con el producto de dos senos, para cualquier número entero positivo y :

Usando la identidad trigonométrica para un producto de senos, podemos escribir:

Ahora centrémonos en dos escenarios diferentes y .

Si , entonces cada una de las integrales que constituyen ss son 0 (ver Apéndice A), entonces .

Si , entonces la segunda integral sigue siendo 0, pero la primera no lo es:

Por lo tanto:

Podemos utilizar exactamente el mismo enfoque para demostrar que:

Una variante más a cubrir:

Como el seno es una función impar y el coseno es una función par, su producto es una función impar. Y la integral de una función impar en un intervalo simétrico es 0 (consulte esta publicación para más detalles).

Por lo tanto:

Apéndice C: Una integral útil

Calculemos la integral indefinida:

Por alguna constante. Usaremos la integración por partes:

Aquí, entonces. Además, así es.

Poniéndolo junto:

Apéndice D: Sinusoide con fase como suma de sen y cos

Tomemos una sinusoide general con magnitud, frecuencia.
y fase :

Vamos a demostrar que se puede representar como la suma de un
seno y un coseno sin fase. Esto está relacionado con mi publicación anterior sobre la suma de sinusoides de la misma frecuencia.

Comencemos expandiendo usando una identidad trigonométrica:

Ahora denotaremos: y , entonces:

Tenemos y en términos de y
pero ¿qué pasa al revés?

Tomemos las ecuaciones:

Eleva ambos al cuadrado y suma:

Ahora tomaremos las ecuaciones para y y dividimos una por la otra:

Donde la función atan2 tiene cuidado de tener en cuenta el signo tanto del numerador como del denominador. También vale la pena mencionar que se determina hasta sumas de .

Para concluir, para cualquier, y :

Con las fórmulas de conversión antes mencionadas para , .

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