Constance Crozier：预测 S 曲线很困难
哇，我们已经完成一半了吗？哇啊，生活在 S 曲线中
有一张著名的新冠疫情时期图表，我一直在努力寻找，它显示了在经历 S 曲线的过程中估计 S 曲线是多么困难。在早期，一切似乎都在呈指数爆炸式增长，你总是会收到一些炒作文章，说你，你这个笨蛋，不理解指数，让我解释一下。然后，当事情触及无形的渐近线时，那些写病毒式文章的同样响亮的声音奇怪地转向了其他事情。
不管怎样，下面的推文图片并不能体现这一点，你应该观看视频版本：https://vimeo.com/408599958 或 https://x.com/clcrozier/status/1251148890595708938
作者是康斯坦斯·克罗泽 (Constance Crozier)，她还撰写了一篇博文。这是 googlebots 的完整内容：
S 曲线（或 S 型函数）通常用于模拟社会或生物系统随时间的演变 (1)。这些函数从指数增长开始，然后线性增长，最后趋于平稳（因此最终看起来像一个不稳定的 s）。我们认为指数函数的许多东西实际上都遵循 S 曲线（否则系统将达到无穷大）。一个著名的例子是采用新技术。下图显示了随着时间的推移拥有智能手机的美国成年人的百分比，顶部有一条最适合的 S 曲线。在这种情况下，由于宣传和供应的推出方式，出现了指数增长。然而，潜在消费者数量有限（其中一些人永远不会拥有智能手机），因此增长逐渐放缓至零。
美国智能手机拥有量 (2)
另一个例子，也是这些曲线重新出现在新闻中的原因是疾病的传播。在这种情况下，当病毒是新病毒时，就会出现指数增长，因此大多数遇到它的人不会产生免疫力。之所以出现平稳，是因为病毒不再遇到没有免疫力的人（由于“群体免疫”或感染者的隔离）。下图显示了 2003 年 SARS 爆发期间中国的死亡人数，同样采用最佳拟合 S 曲线。
中国因非典死亡人数(3)
S 曲线只有三个参数，因此它们如此适合各种系统，这也许令人印象深刻。概括地说，这三个参数描述了初始增长率、稳定率以及稳定值。因此，如果你能估计这三个数字，那么你就得到了趋势曲线。我们中的许多人都会在学校学到，如果要找到三个参数，则需要三个数据点来定义函数。这表明您可以仅根据三个观察结果完美地预测稳定点（剧透：您不能）。
实际上，虽然我们可以说数据的总体趋势可能符合某些 S 曲线，但各个点不会全部位于该曲线上。这可以在前面的两个例子中看到。这种差异通常被描述为“建模误差”，其中包括数据测量中的误差以及 S 曲线模型根本上错误的事实。引用乔治·博克斯的话：“所有模型都是错误的，但有些模型是有用的”。
直观上，从早期数据预测曲线是不可能的，这是有道理的。假设这一点意味着相信我们无法影响结果。然而，根据我的经验，“直觉”和“数学”往往很难调和。因此，我决定调查随着更多数据的出现，“最佳拟合 S 曲线”会发生多大变化。下面是我随机选择的 S 曲线。显示的点是“噪声观测值”——这是数学上表示“施加随机误差量的曲线上的点”的方式。
在这种情况下，S 曲线模型非常适合——我实际上是从 S 曲线生成数据的。这意味着如果误差为零，那么我们只需要三个点即可找到曲线。综上所述，这个例子是理想化的——现实中不太可能有一条曲线与数据如此吻合。下面的动画显示了随着更多数据的可用，最佳拟合 S 曲线（使用最小二乘优化找到）。
毫不奇怪，在指数增长阶段，估计非常糟糕，但即使在线性阶段（当有 40+ 个点可用时）也没有找到正确的曲线。事实上，只有当数据开始趋于平稳时才能找到正确的 S 曲线。当您认为很难判断自己处于曲线的哪一部分时，这尤其没有帮助；事后看来是20-20。
这并不是说不可能对 S 曲线进行建模或预测。仅此而已，可能需要有关您正在建模的系统的上下文信息。对于生物系统，是否有控制初始增长率的物理参数？对于技术变革，最终的平稳程度能否合理预估？该信息是特定于应用程序的。换句话说，数据爱好者（比如我自己）应该将建模工作留给专业人士。
右影响
(1) 涅托等。 al，“使用 S 曲线模型进行技术性能分析：数字信号处理技术案例”，1998 年。
(2) Comscore 白皮书：《2016 年美国移动应用报告》，2016 年 9 月 13 日
(3) 世界卫生组织 https://www.who.int/csr/sars/country/en/
我四年前在 https://www.latent.space/p/ok-foomer 中引用过这一点，最近在 https://www.latent.space/p/wtf2025 中努力寻找它。根据我的“三击”规则，是时候在博客上谈论它了，特别是因为她的网站现在无法加载。
