フーリエ変換に関する注意事項

非繰り返し関数のフーリエ級数の視覚化

この主題を先へ進めるために、フーリエ級数に関する以前の投稿で使用された例を振り返ってみましょう。

フーリエ変換につながるフーリエ級数

これらのメモでは、フーリエ級数の複雑な指数公式を使用します。

と：

不定期のイベントに興味があります 間隔 で定義されます。したがって、 に関する上記の方程式を調べます。

まず、表記を少し変更してみます。周期 () に関して式を書く代わりに、n 次高調波の角周波数を使用します。

したがって、シリーズを次のように少し書き直すことができます。

2 つの連続する周波数の差として使用すると、次のようになります。

この表記法を使用すると、次のように表現されます。

これまでのところ、ここには新しい洞察はなく、いくつかの新しい表記があるだけです。次のステップを促進するためにこれを使用します。

それ以来 。のフーリエ級数表現の極限を計算してみます。
いつ ：

そして、混乱を避けるために、ダミーの積分変数を から に変更して、最新のものをこの式に代入します。

順序を少し変更し、複素指数内の で置き換えます。

和の極限を注意深く見ると、これはリーマン和です (付録 A を参照)。の「サンプル」バージョンです 、 そして 。したがって、これを積分に置き換えて、次のように変更できます。 そして次へ:

内部積分は次のように呼ばれます。 フーリエ変換 の と表されます:

そして、完全な方程式は、 では、 逆数 フーリエ変換:

フーリエ変換の計算例

私たちのお気に入りの奇数三角パルスの例を取り上げ、そのフーリエ変換を計算してみましょう。関数の数学的定義とプロットは、この投稿の前半で示しています。この関数は定期的に拡張しているわけではないことに注意してください。範囲を超えるとゼロになります。これがまさにここでフーリエ変換が必要な理由です。これまで見てきたように、フーリエ級数では再構築された関数が最終的に繰り返しを開始するため、役に立ちません。

私たちは次のことを探しています:

積分を計算するには、オイラーの公式を使用して複素指数を分解しましょう。

our は奇数であるため、最初の積分はゼロになります。また、 は偶数なので、次のように書くことができます。

フーリエ級数に関する投稿で非常によく似た積分をすでに計算しているので、結果までスキップしましょう。

残る唯一の困難は 0 の値であり、最初は未定義のように見えます (ゼロ除算)。ただし、 のように分子も 0 になる傾向があるので、L’Hopital の規則を (2 回!) 使用して次のことを確認できます。

したがって：

この関数は複素数値です。実際、それは純粋に想像上のものです。それをどのように視覚化するのでしょうか?複素数値関数を視覚化する一般的な方法は、その振幅と位相を別々にプロットすることです。

の大きさは次のとおりです。

は純粋に想像上のものであるため、フェーズには 2 つのオプションしかありません。

分子が正の場合、位相 で負の虚数が得られ、分子が負の場合、位相 で正の虚数が得られます。最後に、いつ (これは以前の分析によると で発生しますが、いつでも発生します) ) の整数倍である場合、位相は未定義です。

に対してプロットされた の大きさと位相は次のとおりです。
:

として話されるのが一般的です。 周波数領域
の表現。

関数の周波数領域表現

作業している関数が 時間 信号やシステムの研究ではよくあることですが、その領域 (たとえば、in は時間を表します) として、フーリエ変換は、 周波数領域 関数の表現。

もう一度フーリエ変換の公式を示します。

かかる – タイムドメイン 関数の表現を作成し、それを – に変換します。 周波数領域
表現。適切に動作する関数の場合、これら 2 つの表現は二重であり、それぞれが異なる方法で関数を完全に記述します。

周波数ドメイン表現から時間ドメイン表現に逆変換するには、逆フーリエ変換を使用します。

時間領域のプロット () は時間の経過とともに信号がどのように変化するかを示しますが、周波数領域のプロット () は信号がすべての可能な周波数にわたってどのように分布するかを示します。さらに、これまで見てきたように、 は複雑な値を持ちます。したがって、各周波数には振幅と位相の両方があります。振幅はその周波数がどの程度強く寄与するかを示し、位相はその成分がどのようにシフトするかを示します。

周波数ドメインは信号分析に非常に役立ちます。たとえば、フィルターを設計するときなどです。

フーリエ変換には、信号の分析と処理に非常に役立つ多くのプロパティもあります。しかしその前に、フーリエ変換を適用する目的で「適切に動作する関数」が何を意味するかについて説明しましょう。

フーリエ変換の成立条件

フーリエ変換の最も単純な存在条件は、絶対可積分性 (ルベーグ可積分とも呼ばれます) です。

フーリエ変換のいくつかの便利な特性

直線性

積分は線形であるため、フーリエ変換は線形演算子です。

逆フーリエ変換も同様です。同様に次のことを示すのも簡単です。

スケーリング

関数の定義域を定数でスケールすると、その変換はわずかに変化します。

変数置換を行ってみましょう。

これは で評価されたフーリエ変換なので、次のようになります。

ここで小さな注意点が 1 つあります。が負の場合、整数の範囲が反転され、変換の前にマイナス記号が付けられます。したがって、次のように書くことができます。

これはどんなものでも機能します。

このプロパティは、信号について考えるときに直感的です。 と仮定すると、信号は次のとおりであることを意味します。 圧縮された 時間領域での係数による。スケーリング特性は、周波数領域が次のようになることを示します。 拡張された 同じ係数を使用します。言い換えれば、圧縮された信号を表現するにはより鋭い遷移が必要となるため、より高い周波数がより顕著になります。

タイムシフト

入力信号を定数だけ時間シフトすると、フーリエ変換はどうなるでしょうか。定義により:

を代入すると、次のようになります。

導関数の変換

偏微分方程式の解法によく使用される非常に便利な特性です。の微分のフーリエ変換を計算してみましょう :

ここでは、部分、および による統合を使用します。したがって、および:

「存在条件…」セクションで述べた仮定を思い出してください。
無限遠で消える。したがって、上記の方程式の最初の部分はゼロとなり、次のようになります。

畳み込みの変換

2 つの連続関数間の畳み込み そして次のように定義されます。

この関数のフーリエ変換を計算してみましょう。

積分を二重積分に結合するこのステップと次のステップ (積分順序の変更) は、フビニの定理と次の仮定により可能です。 ルベーグ可積分です。

統合の順序を切り替える:

さて、内部積分は に依存しないので、それを引き出すことができます。

内部積分は時間シフトされた のフーリエ変換にすぎないため、次のように書くことができます。

そして残りの積分は次のフーリエ変換です。 、 それで：

時間領域での畳み込みは、周波数領域での乗算に変換されます。この結果は信号処理において非常に重要であるため、 畳み込み定理。

付録 A: リーマン和と定積分

何らかの関数があるとします そして、この関数のグラフと特定の間隔における軸との間の領域を知りたいとします。これを行う 1 つの方法は、間隔のパーティションを取得することです。