Vidokezo vya Linear Algebra kwa Polynomials

Nafasi ya Vector

Seti , pamoja na nyongeza ya polynomials na fomu ya kuzidisha scalar a nafasi ya vekta. Kama dhibitisho, hebu tuangalie jinsi mihimili ya nafasi ya vekta inavyoridhika. Tutatumia , na kama polynomials kiholela kutoka kwa seti ya maandamano. Vile vile, na ni scalars kiholela katika .

Ushirikiano wa nyongeza ya vekta:

Hili ni jambo dogo kwa sababu ujumlishaji wa polima ni shirikishi. Commutativity vile vile ni ndogo, kwa sababu hiyo hiyo:

Mchanganyiko wa nyongeza ya vekta:

Kipengele cha kitambulisho cha nyongeza ya vekta:

Sifuri polynomial 0 hutumika kama kipengele cha utambulisho. , tunayo.

Kipengele cha kinyume cha kuongeza vector:

Kwa kila , tunaweza kutumia kama nyongeza ya kinyume, kwa sababu .

Kipengele cha utambulisho cha kuzidisha kwa scalar

scalar 1 hutumika kama kipengele cha utambulisho kwa kuzidisha kwa scalar. Kwa kila mmoja, ni kweli.

Ushirikiano wa kuzidisha kwa scalar:

Kwa scalars yoyote mbili na:

Usambazaji wa kuzidisha kwa scalar juu ya nyongeza ya vekta:

Kwa yoyote , na scalar :

Usambazaji wa kuzidisha kwa scalar juu ya nyongeza ya scalar:

Kwa scalars yoyote na na polynomial :

Linear uhuru, span na msingi

Kwa kuwa tumeonyesha kuwa polynomia katika kuunda nafasi ya vekta, sasa tunaweza kujenga ufafanuzi wa ziada wa aljebra wa mstari juu ya hiyo.

Seti ya polynomials inasemekana kuwa kujitegemea linearly ikiwa

ina maana. Kwa maneno, mchanganyiko pekee wa mstari unaosababisha vekta ya sifuri ni wakati coefficients zote ni 0.

Kama mfano, hebu tujadili vizuizi vya msingi vya ujenzi wa polynomia katika : seti . Hizi ni za kujitegemea kwa sababu:

ni kweli tu kwa sifuri polynomial, ambapo coefficients zote . Hii inatokana na ufafanuzi wenyewe wa polynomials. Zaidi ya hayo, seti hii vipindi nzima kwa sababu kila polynomial inaweza (kwa ufafanuzi) kuonyeshwa kama mchanganyiko wa mstari wa .

Kwa kuwa tumeonyesha hizi polynomia za kimsingi zinajitegemea kimstari na zinachukua nafasi nzima ya vekta, ni msingi kwa nafasi. Kwa kweli, seti hii ina jina maalum: the msingi wa monomial (kwa sababu monomial ni polynomial yenye neno moja).

Kuangalia ikiwa seti ya kiholela ya polynomials ni msingi

Tuseme tuna seti za polynomials, na tunataka kujua kama hizi ni msingi wa . Jinsi gani sisi kwenda juu yake?

Wazo ni kutumia aljebra ya mstari kwa njia ile ile tunayofanya kwa nafasi nyingine yoyote ya vekta. Wacha tutumie mfano halisi kuonyesha:

Je, kuweka ni msingi? Tutaanza kwa kuangalia kama washiriki wako huru. Andika:

Kwa kupanga upya, tunaweza kubadilisha hii kuwa:

Ili hili liwe kweli, mgawo wa kila monomia unapaswa kuwa sifuri; kihisabati:

Katika fomu ya matrix:

Tunajua jinsi ya kutatua hili, kwa kupunguza tumbo katika fomu ya safu-echelon. Ni rahisi kuona kwamba umbo la safu-mlalo iliyopunguzwa ya matriki hii mahususi ni , matriki ya utambulisho. Kwa hiyo, seti hii ya equations ina suluhisho moja:.

Tumeonyesha kuwa seti hiyo inajitegemea kimstari. Sasa hebu tuonyeshe hilo vipindi nafasi. Tunataka kuchambua:

Na upate coefficients ambayo inakidhi hii kwa kiholela yoyote , na. Tunaendelea kama hapo awali, kwa kujipanga tena upande wa kushoto:

na kusawazisha mgawo wa kila nguvu ya tofauti:

Ikiwa tutageuza hii kuwa fomu ya matrix, matrix ya coefficients ni sawa kabisa na hapo awali. Kwa hivyo tunajua kuna suluhisho moja, na kwa kupanga upya matrix kuwa , suluhisho litaonekana upande wa kulia. Haijalishi kwa sasa suluhisho halisi ni nini, mradi lipo na ni la kipekee. Tumeonyesha kwamba spans nafasi!

Kwa kuwa seti hiyo inajitegemea kimstari na spans , ni a msingi kwa nafasi.

Bidhaa ya ndani

Nimejadili bidhaa za ndani za utendakazi kwenye chapisho kuhusu nafasi ya Hilbert. Naam, polynomials ni kazikwa hivyo tunaweza kufafanua bidhaa ya ndani kwa kutumia viambatanisho kama ifuatavyo:

Ambapo mipaka na ni ya kiholela, na inaweza kuwa isiyo na kikomo. Wakati wowote tunaposhughulika na viambatanisho tuna wasiwasi kuhusu muunganiko; katika chapisho langu kwenye nafasi za Hilbert, tulizungumza tu – kazi zinazoweza kuunganishwa za mraba. Wengi wa polynomials si mraba integable, hata hivyo. Kwa hivyo, tunaweza kuzuia hii kwa kutumia ama:

1. maalum kazi ya uzito ili kuhakikisha kuwa bidhaa ya ndani inaungana
2. Weka mipaka yenye kikomo kwenye kiungo, kisha tunaweza tu kuweka .

Wacha tutumie mwisho, na tuzuie mipaka kwenye safu , kuweka . Tuna bidhaa zifuatazo za ndani:

Wacha tuangalie ikiwa hii inakidhi hali ya nafasi ya ndani ya bidhaa.

Ulinganifu wa kuunganisha:

Kwa kuwa kuzidisha halisi kunabadilika, tunaweza kuandika:

Tunashughulikia hali halisi hapa, ili tuweze kupuuza kwa usalama muunganisho changamano.

Linearity katika hoja ya kwanza:

Hebu na. Tunataka kuonyesha hilo

Panua upande wa kushoto kwa kutumia ufafanuzi wetu wa bidhaa ya ndani:

Matokeo yake ni sawa na.

Chanya-uhakika:

Tunataka kuonyesha kwamba kwa nonzero, tunayo. Kwanza kabisa, kwani kwa wote ni kweli kwamba:

Vipi kuhusu matokeo 0 ingawa? Vema, tuseme hivyo

Kwa kuwa ni chaguo la kukokotoa lisilo hasi, hii ina maana kwamba kiunganishi cha chaguo za kukokotoa kisicho hasi huishia kuwa 0. Lakini ni chembechembe nyingi, kwa hivyo ni kuendeleana ndivyo ilivyo. Ikiwa muunganisho wa kitendakazi kisicho na hasi kinachoendelea ni 0, inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa lenyewe ni 0. Kama isingekuwa sifuri mahali popote, kiunganishi lazima kiwe chanya pia.

Tumethibitisha kuwa ni lini tu ni sifuri polynomial. Hali ya uhakika-chanya imeridhika.

Kwa kumalizia, pamoja na bidhaa ya ndani ambayo tumefafanua hutengeneza a nafasi ya ndani ya bidhaa.

Orthogonality

Kwa kuwa sasa tuna bidhaa ya ndani, tunaweza kufafanua uhalisi kwenye polimanomia: polima mbili ni ya orthogonal (wrt bidhaa zetu za ndani) ikiwa

Kinyume na matarajio , polynomia za msingi wa monomia ni sivyo
orthogonal kwa kutumia ufafanuzi wetu wa bidhaa ya ndani.

Kwa mfano, kuhesabu bidhaa ya ndani kwa na:

Kuna seti zingine za polynomials ambazo ni orthogonal kwa kutumia bidhaa zetu za ndani. Kwa mfano, polynomia za Legendre; lakini hii ni mada ya chapisho lingine.

---