लॅग्रेंज इंटरपोलेटिंग पॉलिनोमियल्सवरील नोट्स
बहुपदी इंटरपोलेशन डेटाच्या दिलेल्या संचामध्ये उत्तम प्रकारे बसणारे बहुपदी कार्य शोधण्याची एक पद्धत आहे. अधिक ठोसपणे, समजा आपल्याकडे भिन्न बिंदूंचा संच आहे:
आणि आम्हाला बहुपदी गुणांक शोधायचे आहेत जसे की:
आमच्या सर्व बिंदूंना बसते; म्हणजे, इ.
हे पोस्ट या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी एक सामान्य दृष्टीकोन चर्चा करते, आणि असे बहुपद का अस्तित्वात आहे आणि अद्वितीय आहे हे देखील दर्शवते.
रेखीय बीजगणित वापरून अस्तित्व दाखवत आहे
जेव्हा आपण जेनेरिक बहुपदी मध्ये सर्व बिंदू नियुक्त करतो, तेव्हा आपल्याला मिळते:
आम्हाला गुणांक सोडवायचे आहेत. ही समीकरणांची एक रेखीय प्रणाली आहे जी खालील मॅट्रिक्स समीकरणाद्वारे दर्शविली जाऊ शकते:
डावीकडील मॅट्रिक्सला म्हणतात वेंडरमोंडे मॅट्रिक्स. हे मॅट्रिक्स इन्व्हर्टेबल म्हणून ओळखले जाते (पुराव्यासाठी परिशिष्ट पहा); म्हणून, समीकरणांच्या या प्रणालीमध्ये एकच उपाय आहे जो मॅट्रिक्स उलटून काढला जाऊ शकतो.
व्यवहारात, तथापि, व्हेंडरमोंडे मॅट्रिक्स बहुतेक वेळा संख्यात्मकदृष्ट्या खराब-कंडिशन केलेले असते, त्यामुळे अचूक बहुपदी गुणांक मोजण्याचा सर्वोत्तम मार्ग नाही. अनेक चांगल्या पद्धती अस्तित्वात आहेत.
Lagrange बहुपद
लॅग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपदी एका साध्या, तरीही शक्तिशाली कल्पनेतून उद्भवतात. चला परिभाषित करूया Lagrange आधार फंक्शन्स () खालीलप्रमाणे, आमचे मुद्दे दिले आहेत:
शब्दात, 1 वाजता मर्यादित आहे 
आणि इतर सर्व 0 वर. आम्ही इतर कोणत्याही टप्प्यावर त्याच्या मूल्याची काळजी घेत नाही.
रेखीय संयोजन:
नंतर आमच्या बिंदूंच्या संचासाठी एक वैध इंटरपोलेटिंग बहुपदी आहे, कारण ते समान आहे 
प्रत्येकावर (हे खरे आहे हे पटवून देण्यासाठी थोडा वेळ घ्या).
आम्ही कसे शोधू? खालील कार्याचा अभ्यास केल्याने मुख्य अंतर्दृष्टी येते:
हे कार्य आहे 
सर्वांसाठी अटी. हे पाहणे सोपे असले पाहिजे की जेव्हा 0 आहे.
येथे त्याचे मूल्य काय तरी? आम्ही फक्त नियुक्त करू शकतो
प्राप्त करण्यासाठी:
आणि नंतर सामान्य करा, त्याला या (स्थिर) मूल्याने विभाजित करा. आम्हाला Lagrange बेस फंक्शन मिळते:
याची कल्पना करण्यासाठी एक ठोस उदाहरण वापरू. समजा आपल्याकडे खालील बिंदूंचा संच आहे जो आपल्याला इंटरपोलेट करायचा आहे: . आम्ही गणना करू शकतो, आणि , आणि खालील मिळवू शकतो:
प्रत्येक कोठे छेदतो ते लक्षात ठेवा 
अक्ष या फंक्शन्सची अजिबात योग्य मूल्ये आहेत. प्राप्त करण्यासाठी आम्ही त्यांना सामान्य केल्यास, आम्हाला ही कार्ये मिळतात:
लक्षात घ्या की प्रत्येक बहुपदी योग्यतेनुसार 1 आहे आणि 0 इतर सर्व आवश्यकतेनुसार.
यासह, आम्ही आता इंटरपोलेटिंग बहुपदी प्लॉट करू शकतो, जे आमच्या इनपुट बिंदूंच्या सेटमध्ये बसते:
बहुपद पदवी आणि विशिष्टता
आम्ही नुकतेच पाहिले आहे की लॅग्रेंज बेस फंक्शन्सचे रेखीय संयोजन:
भिन्न बिंदूंच्या संचासाठी वैध इंटरपोलेटिंग बहुपदी आहे. त्याची पदवी काय आहे?
प्रत्येकाची पदवी असल्याने नंतर पदवी आहे जास्तीत जास्त . आम्ही नुकताच पहिला भाग घेतला आहे बहुपदी इंटरपोलेशन प्रमेय:
बहुपदी इंटरपोलेशन प्रमेय: कोणत्याही डेटा बिंदूंसाठी जेथे दोन समान नसतात, तेथे जास्तीत जास्त पदवीचा एक अद्वितीय बहुपदी अस्तित्वात असतो जे या बिंदूंना इंटरपोलेट करते.
आम्ही अस्तित्व आणि पदवी प्रदर्शित केली आहे, परंतु अद्याप नाही वेगळेपणा. तर त्याकडे वळूया.
आम्हाला माहित आहे की सर्व बिंदू इंटरपोलेट करतात आणि त्याची डिग्री आहे . समजा असा दुसरा बहुपदी आहे. चला तयार करूया:
त्याबद्दल आपल्याला माहिती आहे का? सर्व प्रथम, त्याचे मूल्य 0 आहे त्यामुळे आहे मुळे. दुसरे, आपल्याला हे देखील माहित आहे की त्याची पदवी जास्तीत जास्त आहे (कारण अशा पदवीच्या दोन बहुपदांमध्ये फरक आहे). या दोन तथ्यांमध्ये विरोधाभास आहे. पदवीच्या कोणत्याही नॉन-शून्य बहुपदीला मुळे असू शकत नाहीत (मूलभूत बीजगणितीय सत्याशी संबंधित बीजगणिताचे मूलभूत प्रमेय). म्हणून शून्य बहुपदी असणे आवश्यक आहे; दुसऱ्या शब्दांत, आमचे अद्वितीय आहे.
येथे विशिष्टतेचा अर्थ लक्षात घ्या: आमच्या भिन्न बिंदूंचा संच पाहता, पदवीचा एकच बहुपद आहे जो त्यास इंटरपोलेट करतो. लॅग्रेंज बेस फंक्शन्स किंवा इतर कोणत्याही पद्धतीचा वापर करून, व्हेंडरमोंडे मॅट्रिक्स उलट करून त्याचे गुणांक शोधू शकतो.
साठी आधार म्हणून Lagrange बहुपदी
संचामध्ये पदवीच्या सर्व वास्तविक बहुपदी असतात. हा संच – बहुपदी आणि स्केलर गुणाकार जोडून – एक वेक्टर स्पेस बनवतो.
आम्ही पूर्वी “लॅग्रेंज बेसिस” असे म्हटले होते आणि ते – खरेतर – या वेक्टर स्पेससाठी वास्तविक रेखीय बीजगणित आधार तयार करतात. हा दावा सिद्ध करण्यासाठी, आम्हाला हे दाखवण्याची आवश्यकता आहे की Lagrange बहुपदी रेषीयरीत्या स्वतंत्र आहेत आणि ते अंतराळात पसरतात.
रेखीय स्वातंत्र्य: आम्हाला ते दाखवावे लागेल
सुचवते. लक्षात ठेवा की 1 वाजता आहे तर इतर सर्व त्या बिंदूवर 0 आहेत. म्हणून, येथे मूल्यांकन आम्हाला मिळते:
त्याचप्रमाणे, आपण ते सर्वांसाठी 0 दाखवू शकतो 
.
स्पॅन: आम्ही आधीच दाखवून दिले आहे की:
भिन्न बिंदूंच्या कोणत्याही संचासाठी वैध इंटरपोलेटिंग बहुपदी आहे. वापरून बहुपदी इंटरपोलेशन प्रमेयबिंदूंच्या या संचाला इंटरपोलेट करणारा हा अद्वितीय बहुपदी आहे. दुस-या शब्दात, प्रत्येकासाठी, आम्ही ते कोणत्या विशिष्ट बिंदूंमधून जातो ते ओळखू शकतो आणि नंतर Lagrange आधारावर गुणांक शोधण्यासाठी या पोस्टमध्ये वर्णन केलेल्या तंत्राचा वापर करू शकतो. म्हणून, संच वेक्टर स्पेस व्यापतो.
Lagrange आधारावर इंटरपोलेशन मॅट्रिक्स
इंटरपोलेटिंग बहुपद शोधण्यात मदत करणारी रेखीय समीकरणांची प्रणाली लिहिण्यासाठी आधार कसा वापरायचा हे आपण यापूर्वी पाहिले आहे. याचा परिणाम होतो वेंडरमोंडे मॅट्रिक्स.
Lagrange आधार वापरून, आपण इंटरपोलेशन समीकरणांचे खूप छान मॅट्रिक्स प्रतिनिधित्व मिळवू शकतो.
लक्षात ठेवा की Lagrange आधार वापरून आमची सामान्य बहुपदी आहे:
चला प्रत्येक बिंदूसाठी समीकरणांची एक प्रणाली तयार करूया. साठी 
:
Lagrange बेस फंक्शन्सच्या व्याख्येनुसार, सर्व कुठे 0 आहेत, तर 1 आहे. त्यामुळे हे सोपे होते:
पण नोडवरील मूल्य आहे 
म्हणून आम्हाला ते सापडले आहे. आपण इतर नोड्ससाठी समान समीकरणे तयार करू शकतो, इ. मॅट्रिक्स स्वरूपात:
आम्हाला ओळख मॅट्रिक्स मिळते; हे क्षुल्लकपणे दाखवण्याचा हा दुसरा मार्ग आहे, आणि असेच.
परिशिष्ट: वेंडरमोंडे मॅट्रिक्स
काही संख्यांना या फॉर्मचे मॅट्रिक्स दिले आहे:
म्हणतात वेंडरमोंडे मॅट्रिक्स व्हेंडरमोंडे मॅट्रिक्सचे विशेष काय आहे की ते कधी उलट करता येण्यासारखे आहे हे आम्हाला माहित आहे वेगळे आहेत. याचे कारण असे की त्याचा निर्धारक शून्य नसलेला आहे. शिवाय, त्याचे निर्धारक हे आहेतः
येथे का आहे.
काही अंतर्ज्ञान मिळविण्यासाठी, चला काही लहान-रँक वेंडरमोंडे मॅट्रिक्सचा विचार करूया. 2-बाय-2 सह प्रारंभ:
चला आता 3-by-3 करून पहा:
पहिल्या पंक्तीपासून विस्तार करण्यासाठी आम्ही निर्धारकांची गणना करण्याचा मानक मार्ग वापरू शकतो:
काही बीजगणितीय हाताळणी वापरून, हे दर्शविणे सोपे आहे की हे समतुल्य आहे:
पूर्ण पुराव्यासाठी, सामान्यीकृत -बाय-मॅट्रिक्स पुन्हा पाहू:
लक्षात ठेवा की एका स्तंभातील गुणाकार दुसऱ्या स्तंभातून वजा केल्याने मॅट्रिक्सचा निर्धारक बदलत नाही. प्रत्येक स्तंभासाठी, आम्ही गुणाकार केलेल्या स्तंभाचे मूल्य वजा करू त्यातून (हे एकाच वेळी सर्व स्तंभांवर केले जाते). पहिली पंक्ती पहिल्या घटकानंतर सर्व शून्य बनवण्याची कल्पना आहे:
आता आपण दुसऱ्या पंक्तीपासून (पहिल्या घटकानंतर), तिसऱ्या रांगेतून आणि अशाच प्रकारे घटक काढतो:
कल्पना करा की आपण पहिली पंक्ती आणि पहिला स्तंभ पुसून टाकू 
. आम्ही परिणामी मॅट्रिक्स कॉल करू 
.
कारण पहिल्या रांगेत प्रथम घटक वगळता सर्व शून्य आहे, आमच्याकडे आहे:
ची पहिली पंक्ती लक्षात घ्या चा एक सामान्य घटक आहे, म्हणून गणना करताना, आपण हा सामान्य घटक बाहेर हलवू शकतो. दुसऱ्या पंक्तीच्या सामान्य घटकासाठी समान, आणि असेच. एकूणच, आम्ही लिहू शकतो:
पण लहान मॅट्रिक्स हे फक्त वेंडरमोंडे मॅट्रिक्स आहे. आम्ही इंडक्शनद्वारे ही प्रक्रिया सुरू ठेवल्यास, आम्हाला मिळेल:
तुम्हाला स्वारस्य असल्यास, वेंडरमोंडे मॅट्रिक्सच्या विकिपीडिया पृष्ठावर काही अतिरिक्त पुरावे आहेत.
