متسلسلة تايلور ومقاييس التسارع || الرياضيات ∩ البرمجة
في كتابي، مقدمة للمبرمج في الرياضيات، أصف سلسلة تايلور بأنها “مطرقة لكل مسمار”. لقد تعرفت على مسمار آخر في تصميم مقاييس تسارع الهواتف الذكية الحديثة من “ثماني قصص هندسية مذهلة” بقلم هاماك ورايان وزيك، والتي سأشاركها هنا.
تم تصميم مقاييس التسارع هذه باستخدام نظام يتضمن ثلاث لوحات تتوافق مع مكثفين. تلخيص سريع لفهمي (المحدود) لكيفية عمل المكثفات. يبدو المكثف الذي يحتوي على لوحتين موصلتين كما يلي:
مكثف ذو لوحتين موصول بالبطارية. (مصدر)
يدفع الجهد الذي توفره البطارية الإلكترونات على طول الاتجاه السلبي، أو ما يعادل دفع “الشحنة” على طول الاتجاه الإيجابي (انظر الفرق بين تدفق الشحنة وتدفق الانتخابات). تتراكم هذه الانتخابات في اللوحة المسمى $ -Q$، ويولد الفرق في الشحن عبر اللوحين مجالًا كهربائيًا. إذا كان هذا المجال الكهربائي قويًا بدرجة كافية، فيمكن للإلكترونات القفز في الفجوة إلى اللوحة الموجبة وإكمال الدائرة. وبخلاف ذلك، تصل اللوحة إلى “السعة” ويتوقف التيار عن التدفق. وسواء حدث القفز أو توقف التيار يعتمد على مساحة اللوحة $ A$، والمسافة بين اللوحين $ d$، وخواص المادة بين اللوحات، ويسمى الأخير “ثابت العزل الكهربائي” $ \varepsilon$. (ملحوظة، لست متأكدًا من سبب عدم اعتمادها على المادة التي تتكون منها اللوحة، لكنني أتخيل أنها قد يتم دمجها في ثابت العزل الكهربائي إذا لزم الأمر) يتم تلخيص هذه العلاقة بالصيغة
$$\displaystyle C = \frac{\varepsilon A}{d}$$
بعد ذلك، يمكن لحدث خارجي أن يتسبب في تحرك الصفائح بالقرب من بعضها البعض بدرجة كافية بحيث تتمكن الإلكترونات من القفز في الفجوة ويمكن أن يبدأ التيار في التدفق. يؤدي هذا إلى تفريغ اللوحة السالبة الشحنة.
يمكن أن يعمل مقياس التسارع البسيط الخالي من سلسلة تايلور على النحو التالي:
- اسمح للوحة المشحونة سالبًا بالتمايل قليلاً عن طريق تثبيت طرف واحد فقط من اللوحة، كما هو موضح في الصورة مثل لوح الغوص (ناتئ).
- سيكون مقدار التذبذب متناسبًا مع قوة التسارع وفقًا لقانون هوك للزنبركات.
- عند الإزاحة بمسافة $ \delta$، تتغير السعة في اللوحة إلى $ C = \frac{\varepsilon A}{d – \delta}$.
- استخدم كمية التفريغ لمعرفة مقدار إزاحة اللوحة.
وهذا قادر على قياس قوة التسارع في بعد واحد، ولذلك يتم ترتيب هذه الأجهزة في محاور متعامدة للسماح بقياس التسارع في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
المشكلة في هذا التصميم هي أن $ C = \frac{\varepsilon A}{d – \delta}$ هو تغير غير خطي في السعة بالنسبة إلى مقدار الإزاحة. لمعرفة كيف أنها غير خطية، قم بتوسيع هذه إلى سلسلة تايلور:
$$\displaystyle \begin{aligned} C &= \frac{\varepsilon A}{d – \delta} \\\ &= \frac{\varepsilon A}{d} \left ( \frac{1}{1 – \frac{\delta}{d}} \right ) \\\ &= \frac{\varepsilon A}{d} \left ( 1 + \frac{\delta}{d} + \left ( \frac{\delta}{d} \right )^2 + O_{\delta \to 0}(\delta^3) \right ) \end{محاذاة}$$
أنا أستخدم الترميز الكبير O $ O_{\delta \to 0}(\delta^3)$ لأقول بشكل أكثر صرامة أنني “أتجاهل” جميع الحدود المكعبة والأعلى. يمكنني القيام بذلك لأنه في هذه الأنظمة الهندسية (أنا آخذ كلام هاماك هنا)، تكون الكمية $ (\delta / d)^2$ كبيرة بشكل ذي معنى، ولكن المصطلحات اللاحقة مثل $ (\delta / d)^3$ صغيرة بشكل لا يذكر. بالطبع، يكون هذا صحيحًا فقط عندما تكون الإزاحة $ \delta$ صغيرة جدًا مقارنة بـ $ d$، ولهذا السبب يحتوي الحرف الكبير O على رمز منخفض $ \delta \to 0$.
على ما يبدو، العمل إلى الوراء من خلال اللاخطية في تغيير السعة أمر صعب بما فيه الكفاية لتبرير تغيير تصميم النظام. (لا أعرف سبب صعوبة ذلك، لكنني أتصور أن الأمر يتعلق بالقيود الهندسية لأجهزة القياس؛ يرجى المشاركة إذا كنت تعرف المزيد)
تصميم النظام الذي يتجنب ذلك هو نظام ثلاثي الألواح بدلاً من نظام ثنائي الألواح. في هذا النظام، تتحرك اللوحة الوسطى ذهابًا وإيابًا بين لوحتين ثابتتين متصلتين بمصدر جهد. عندما تبتعد عن أحدهما وتقترب من الآخر، فإن السعة المتزايدة على أحد الجانبين تتوازن مع السعة المنخفضة على الجانب الآخر. توضح متسلسلة تايلور كيف أن هذين التغييرين يلغيان الحد التربيعي فقط.
إذا كان $ C_1 = \frac{\varepsilon A}{d – \delta}$ يمثل السعة المتغيرة للوحة اليسرى (تتحرك اللوحة الوسطى بالقرب منها)، و$ C_2 = \frac{\varepsilon A}{d + \delta}$ يمثل اللوحة اليمنى (تتحرك اللوحة الوسطى بعيدًا عنها)، ثم نقوم بتوسيع الفرق في السعات عبر متسلسلة تايلور (باستخدام متسلسلة تايلور مقابل $ 1/(1-x)$ لكليهما، ولكن في الحالة $ 1 + \delta/d$ يكون $ 1 / (1 – (-x))$).
$$\displaystyle \begin{aligned} C_1 – C_2 &= \frac{\varepsilon A}{d – \delta} – \frac{\varepsilon A}{d + \delta} \\\ &= \frac{\varepsilon A}{d} \left ( \frac{1}{1 – \frac{\delta}{d}} – \frac{1}{1 + \frac{\delta}{d}} \right ) \\\ &= \frac{\varepsilon A}{d} \left ( 1 + \frac{\delta}{d} + \left ( \frac{\delta}{d} \right )^2 + O_{\delta \to 0}(\delta^3) – 1 + \frac{\delta}{d} – \left ( \frac{\delta}{d} \right )^2 + O_{\delta \to 0}(\delta^3) \right ) \\\ &= \frac{\varepsilon A}{d} \left ( \frac{2\delta}{d} + O_{\delta \to 0}(\delta^3) \right ) \end{محاذاة}$$
مرة أخرى، نظرًا لأن الحدود التكعيبية والحدود الأعلى صغيرة جدًا، فيمكننا “تجاهل” تلك الأجزاء. ما تبقى هو استجابة خطية للتغير في إزاحة اللوحة الوسطى. وهذا يجعل القياس أسهل بكثير. ولأننا نقيس الفرق في السعة، فإن هذا التصميم يسمى “المكثف التفاضلي”.
على الرغم من أن الرياضيات مرتبة في الماضي، إلا أنني أتعجب من الطريقة التي يمكن للمرء أن يتصور بها هذا التصميم من الصفر. هل لاحظ المخترع أن التماثلات في تقريبيات متسلسلة تايلور يمكن ترتيبها بحيث تنفي بعضها البعض؟ هل كان هناك نوع آخر من “الحدس الجسدي” في اللعب؟
حتى المرة القادمة!
